Als Sohn eines Schneiders geboren und früh verwaist, absolvierte Heinrich Klemm ebenfalls eine Schneiderlehre und ging auf Gesellenwanderschaft. 1844 gründete er in Leipzig gemeinsam mit seinem älteren Bruder ein Zeicheninstitut für Kleidermacher und veröffentlichte zwei Jahre später als erstes Werk ein Vollständiges Lehrbuch der modernen Zuschneidekunst und Bearbeitung sämmtlicher Herrenkleider. Der Weimarer Buchhändler Voigt gewann ihn als Redakteur für eine Männer-Modezeitschrift. 1850 heiratete Klemm und wohnte von nun ab in Dresden. Dort gründete er seinen eigenen Verlag und eröffnete zusammen mit dem Schneidermeister Gustav Adolf Müller die „Deutsche Bekleidungs-Akademie“. 

Sein wirtschaftlicher Erfolg erlaubte Klemm den Aufbau einer umfassenden buchgeschichtlichen Sammlung. „Klemm’s bibliographisches Museum“ zielte darauf ab, von möglichst vielen frühen Druckorten erste Belege zu sammeln. Krönender Höhepunkt war eine auf Pergament gedruckte 42-zeilige Gutenberg-Bibel. Ein 1884 veröffentlichter Beschreibender Catalog des bibliographischen Museums von Heinrich Klemm dokumentierte die im selben Jahr an den sächsischen Staat verkaufte Sammlung, die in Klemms Todesjahr 1886 an das in Leipzig gegründete Buchgewerbemuseum übergeben wurde.