Obgleich es sich bei Quadraat um eine digital erstellte Schrift handelt, basiert sie auf handschriftlichen Zeichnungen, die der niederländische Designer Fred Smeijers zu Beginn der 1990er Jahre in seinem Büro anfertigte. Er folgte Antiqua-Vorbildern, gestaltete jedoch mit der Quadraat Italic eine originelle Kursive. 1997 fügte er der Schriftfamilie – der Tradition seiner Landsleute Jan van Krimpen, Martin Majoor und Lucas de Groot folgend – eine Sans-Serif-Version hinzu, später noch Display- und Überschriften-Varianten.

Auffällig ist die verstärkte Anwendung von Quadraat als Titelschrift, vor allem im Bereich typografisch anspruchsvoller Publikationen wie Magazinen, Bildbänden oder Kunstkatalogen. Bei der Gestaltung ließ sich Smeijers ganz bewusst auch durch die Urteile von Laien beeinflussen. Erklärtes Ziel war das Schließen einer gefühlten typografischen Lücke: die Erstellung einer Schriftart, die stilistisch zwischen der klassischen Buchschrift Times New Roman und dem massiveren Vorläufer Plantin angesiedelt sein sollte.